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培养逆向思维之“函数值域的逆应用”

  心理学研究表明:每一个思维过程都有一个与之相反的思维过程,在这个互逆过程中,存在着正、逆思维的联结。所谓逆向思维,是指和正向思维方向相反而又相互联系的思维过程,即我们通常所倒着想或反过来想一想。逆向思维也叫求异思维,它是对司空见惯的似乎已成定论的事物或观点反过来思考的一种思维方式。敢于“反其道而思之”,让思维向对立面的方向发展,从问题的相反面深入地进行探索,树立新思想,创立新形象。

  由于高中学生的年龄特点,在生活中的这方面经历、体验欠缺,思考问题不会全方位角度考虑全面;进而数学教学中往往对正向思维关注较多,长期的正向思维定势会影响逆向思维的建立;同时,由正向思维向逆向思维转移时,需要重新调整心理过程,重新建立心理过程的方向,在一定程度上增加了正向思维与逆向思维联结的难度。凡此种种,使得培养学生逆向思维能力成为数学教学中的一个难题。

  人们习惯于沿着事物发展的正方向去思考问题并寻求解决办法。其实,对于某些问题,尤其是一些特殊问题,从结论往回推,倒过来思考,由果索因(也就是目的导向),从求解回到已知条件,反过去想或许会使问题简单化。

  逆向思维在各学科的的学习中都很重视,同时方法迥异,数学学科也如此。在很多文章中也谈到了逆向思维的培养。笔者主要从函数值域的逆应用入手谈谈对逆向思维的培养。笔者本文仅是抛砖引玉,不妥之处希望广大读者批评指正。

  对比本例中两种解法,利用常规思维,纯代数运算很容易将问题复杂化,甚至会使计算陷入僵局;假若能利用数形结合的数学思想方法,从值域到定义域的映射考虑,很容易得出结论。

  在平时对已知函数定义域求值域的教学过程中应当逐步给学生灌输一种逆向思维:(1)已知定义域求值域,结果是否唯一?(2)已知值域,能否求出定义域?为什么?

  在本例中在函数化简完成以后,如果按照正向思维,考查函数的单调性,再判断极值点,最后判断极值点和端点值大小求最值,很难继续做下去。

  条件的意思,利用三角函数的图像,用化归思想将条件进行转化,找出题目有值域和定义域相同等价于定义域的区间长度小于1,本例也比较容易解出。在平时教学利用化归思想时,提醒学生思考:所用到的两个条件是否等价,能否逆运用?

  对比以上两种方法,会发现法一的每一步都感觉来的很突然,很难想到,甚至会有一种“不适应”的感觉,感觉不“大众化”。;但是方法二中的分析法由果索因,相对容易的证明出来,而且给人感觉思维紧密。

  种种例子表明,很多题目要是采用正向思维考虑,很难处理,要是有较强的逆向思维能力,会使得学生从多维度思考,可能使得问题简单化。清晰记得在几年前再讲一个问题:用一个平行于轴的平面截圆锥,得到的图形是什么图形?自己很清楚得到的是“n ”形,学生们异口同声的回答“等腰三角形”。当时顿时一身冷汗,一时不知怎样和学生解释,还好当时顿时脑子浮现这个“逆向思维”,用了反证法:经过圆锥顶点截得的截面肯定是等腰三角形,假如平行于轴的平面截圆锥,得到的图形是等腰三角形,那么这个图形应该是棱锥。这样一讲,学生顿时明白了。

  所以在数学教学中培养学生的逆向思维能力,对于提高学生的科学思维水平,逐步养成良好的思维品质,具有重要作用,是很必要的。

  (2)反向逆推,探讨某些命题的逆命题的线)辩证分析,从矛盾的对立面去思考问题。

  (4)培养学生的逆向思维能力,必须以扎实的双基为前提,否则会弄巧成拙、事倍功半。

  作为现代学习结果的一个重要检查手段即为考试,要达到考查学生的逆向思维的目的,可在试题本身的命制、打磨方面多下功夫。

  4.1 在不失本源性的前提下,笔者认为,可将高等数学中的很多重要结论和定理选择性的展现在中学的竞赛题、高考题和模拟题中,比如说一些基本初等函数的泰勒展式或者一些中值定理的结论,可以自定义概念题、证明题、计算题或者判断并说明理由的题型展示。笔者认为初等数学和高等数学之间并不是对立的,而是源流的关系,这样会让学生能够在学习初等数学的同时感受数学的连贯性,比如泰勒展式和很多著名的不等式,椭圆与圆性质的统一性。

  4.2 可对中学一些比较重要的定理或者结论再探究、延伸。比如圆锥曲线、导函数、多面体的切接问题中一些重要结论、定理可作为“把关题”的形式展现。

  4.3 可从现有试题的改编、多维度、多视角下功夫,尤其是高考题和竞赛题的题源方面研究,会得到新的感受。

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